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Fonctions réciproques
Donner la dérivée de la fonction l/f :
x E R.* H arctan x +arctan ( ~). et en déduire
que, pour tout réel strictement positif x :
arctan x + arctan ( ~) = ~
On considère la fonction f définie,
pour tout x de l'intervalle ( 0, ~], par :
/(0) = 1
X
f(x) = -
ranx
. 0
rr
Sl
fŒ) =O .
21.a) Montrer que, pour tout réel x > 0 :
sin x < x.
21.b) Montrer que f est strictement décroissante sur Jo, ~ (.
21.c) Déterminer J' image J = f(l) de l'intervalle l par f, et montrer que f admet
une application réciproque g définie sur
J.
21.d) Montrer que g G) = ~.
21.e) Montrer que la fonction g est dérivable
en ~, et calculer g' ( ~).
On considère la fonction f définie,
sin x
-s1n x
t
' l
j '() e - e
pour out ree x, par : x =
2
22.a) Montrer que f est dérivable sur IR, et
calculer, pour tout réel x, f'(x).
22.b) Déterminer l'image J = f (] - ~,~[)de
]-~ , 1( par f, et montrer que f admet
une application réciproque r
1 définie
sur J.
22.c) Montrer que la fonction f -
1 est dérivable en 0 , et calculer la valeur de sa
dérivée en ce point.
Développements limités
Déterminer le développement limité
à l'ordre 5, au voisinage de 0, de la fonction:
X H 'P l (x) = esinx
Déterminer le développement limité
à l'ordre 6, au voisinage de 0, de la fonction :
xi-+ ipz(x) = ln(cos x)
Déterminer le développement limité
à l'ordre 6, au voisinage de 0, de la fonction :
X H ip3(x) = (cos x)sinx
Déterminer le développement limité
à l'ordre 3, au voisinage dei, de la fonction :
X H ip4(x) = cos X - X sin X
Déterminer le développement limité
à l'ordre 4 au voisinage de 0 de la fonction :
x E lR H ip 5 (x) = e-x
Déterminer le développement limité
à l'ordre 3 au voisinage de 0 de la fonction:
X E JR \ {~} H l{J6(X) = _J_
2
l - 2x
Pour p E N*, donner le développement limité de la fonction x H -
1
- 2 à
l+x
1' ordre 2p en 0, et en déduire celui de la fonction x H arctan x à lordre 2p + l en O.
Déterminer le développement limité
à l'ordre 4, au voisinage de 0, de chacune des
fonctions suivantes :
cosx
.
30.a) x H fi (x) = - - - e x .
1- x
30.b) x i-+ fi(x) = tan (ln( 1 + x
2 ) ) .
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