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N
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~
..c::
Ol
ï::::
>a.
0
u
On considère la fonction cp définie,
pour tout réel x, par :
cp(x) = { x
3
sin ( ~) si x * 0
0
Si X= 0
Étudier la dérivabilité de cp.
On considère la fonction l/f définie,
pour tout réel x, par :
!/f(x) = { 1 - e
1
-
Si X= 1
Étudier la continuité et la dérivabilité de !/f.
Des dérivées rem arqu ables
On considère les fonctions !/f 1 et !/f 2 définies
par:
Quel est Je domaine de défi nition de ces deux
fonctions? Étudier la dérivabilité de !/f 1 et
!/f 2 , puis donner l'expression de leurs dérivées
respectives.
Des in égalités classiqu es
15.a) Montrer que, pour tout réel x :
ex~ 1 + x.
15.b) Montrer que, pour tout réel positif x :
sinx < x.
15.c) Montrer que, pour tout réel x > - 1 :
ln(!+ x) < x.
Des limites rem a rqu a bles
16.a) Soit f 1 une fonction dérivable en zéro.
Déterminer :
1
. !1 (2x) - f1(0)
1 1 n - - - - -
x->O
2 X
et 1
. !1 (2x) - f1(x)
1m - - - - -
x->O
X
16.b) Soit h une fonction définie sur R, dérivable sur R Déterminer, pour tout
réel a :
1
. x f2(a) - a f2(x)
im - - - - - -
x->a
X - Cl
Règle de l'Hôpita1 1
Soient f et g deux fonctions définies sur un
intervalle [a, b] de ~' à valeurs dans Ill, continues sur [a, b], dérivables sur ]a, b[. On suppose que g' ne s'annule pas sur ]a, b[. Montrer qu'il existe un réel c dans ]a, b[ tel que:
f(b) - f(a)
f'(c)
=
g(b) - g(a)
g'(c)
Une étude de fonction
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On considère la fonction
J,,: R+ ~ R
X
H
{ (1 - ~r -e- x Si X E
0
sinon
[0, n]
18.a) Montrer que J,, est dérivable sur [0, n[.
18.b) Calculer, pour tout x de [0, n[, f,;(x),
et montrer qu'on peut l'écrire sous la
forme
f,;(x) = e-x [1 - e' 1,,(x)]
où hn est une fonction définie sur [0, n[,
dont on donnera l'expression.
18.c) Étudier les variations de hn sur [0, n[,
ainsi que son signe. On montrera qu'il
existe un réel œn E] 1, n[ tel que :
hn(œ,,) = 0
18.d) Étudier les variations de J,, sur (0, n[, et
montrer que, pour tout réel x de [0, n[ :
œ e- 11·,,
lf,,(x)I < -" -- n
18.e) Etudier les variations de la fonction
qui, à tout réel x de R.+, associe xe- x,
et en déduire que, pour tout réel x de
[0, n[ :
1
lf,,(x)I < - ne
Que peut-on en conclure?
l. Guillaume François Antoine, marquis de L'Hôpital (1661-1704), mathématicien français, élève de Jean
Bernoulli, spécialiste de calcul différentiel. Jl est connu pour son ouvrage Analyse des Infiniment Petits pour
l'intelligence des lignes Courbes, publié en 1696.11 travailla également sur les coniques.
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On considère la fonction cp définie,
pour tout réel x, par :
cp(x) = { x
3
sin ( ~) si x * 0
0
Si X= 0
Étudier la dérivabilité de cp.
On considère la fonction l/f définie,
pour tout réel x, par :
!/f(x) = { 1 - e
1
-
Si X= 1
Étudier la continuité et la dérivabilité de !/f.
Des dérivées rem arqu ables
On considère les fonctions !/f 1 et !/f 2 définies
par:
Quel est Je domaine de défi nition de ces deux
fonctions? Étudier la dérivabilité de !/f 1 et
!/f 2 , puis donner l'expression de leurs dérivées
respectives.
Des in égalités classiqu es
15.a) Montrer que, pour tout réel x :
ex~ 1 + x.
15.b) Montrer que, pour tout réel positif x :
sinx < x.
15.c) Montrer que, pour tout réel x > - 1 :
ln(!+ x) < x.
Des limites rem a rqu a bles
16.a) Soit f 1 une fonction dérivable en zéro.
Déterminer :
1
. !1 (2x) - f1(0)
1 1 n - - - - -
x->O
2 X
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. !1 (2x) - f1(x)
1m - - - - -
x->O
X
16.b) Soit h une fonction définie sur R, dérivable sur R Déterminer, pour tout
réel a :
1
. x f2(a) - a f2(x)
im - - - - - -
x->a
X - Cl
Règle de l'Hôpita1 1
Soient f et g deux fonctions définies sur un
intervalle [a, b] de ~' à valeurs dans Ill, continues sur [a, b], dérivables sur ]a, b[. On suppose que g' ne s'annule pas sur ]a, b[. Montrer qu'il existe un réel c dans ]a, b[ tel que:
f(b) - f(a)
f'(c)
=
g(b) - g(a)
g'(c)
Une étude de fonction
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On considère la fonction
J,,: R+ ~ R
X
H
{ (1 - ~r -e- x Si X E
0
sinon
[0, n]
18.a) Montrer que J,, est dérivable sur [0, n[.
18.b) Calculer, pour tout x de [0, n[, f,;(x),
et montrer qu'on peut l'écrire sous la
forme
f,;(x) = e-x [1 - e' 1,,(x)]
où hn est une fonction définie sur [0, n[,
dont on donnera l'expression.
18.c) Étudier les variations de hn sur [0, n[,
ainsi que son signe. On montrera qu'il
existe un réel œn E] 1, n[ tel que :
hn(œ,,) = 0
18.d) Étudier les variations de J,, sur (0, n[, et
montrer que, pour tout réel x de [0, n[ :
œ e- 11·,,
lf,,(x)I < -" -- n
18.e) Etudier les variations de la fonction
qui, à tout réel x de R.+, associe xe- x,
et en déduire que, pour tout réel x de
[0, n[ :
1
lf,,(x)I < - ne
Que peut-on en conclure?
l. Guillaume François Antoine, marquis de L'Hôpital (1661-1704), mathématicien français, élève de Jean
Bernoulli, spécialiste de calcul différentiel. Jl est connu pour son ouvrage Analyse des Infiniment Petits pour
l'intelligence des lignes Courbes, publié en 1696.11 travailla également sur les coniques.
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