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Exercices
Pour s'entraÎner
(solutions p . 133)
par :
On considère la fonction f définie
f(x) = {e- ; s~ x >=F 0
Û SI X,::; Û
Étudier la continuité de f.
On considère la fonction g définie
par:
()
{
-
1
-
1 1
six
Ü Si X = 1 OU X = - 1 OU X = Ü
Étudier la continuité de g.
On considère la fonction h définje
par:
h( ) _ { - 2 -
1
- si x E R \ { - 1, 1 }
X -
X - l
Û
Si X = 1 OU X = - 1
Étudier la continuité de h.
On considère la fonction ip définie
par:
ip(x) = { x s in G) si x * 0
Û
Si X= Û
Étudier la continuité de ip.
On considère la fonction l/f définie
par:
l/f(x) = E(x) + lx - E(x)l
4
Étudier la continuité de l/f.
Soient 1l E ]0, l[, et f une fonction
continue sur l ' intervalle [1l, +oo(, telle que
f(À) = 0 et lim f(x) =O.
X-++oo
Soit F la fonction définie sur JO, 1 J ~ R par:
F(x) = f G + À. - 1)
6.a) Montrer que F est bien définie sur
JO, l].
6.b) Étudier la continuité de F sur JO, l].
6.c) Montrer que F est prolongeable par
continuité sur [0, l].
Une équation fonctionnelle
Déterminer les fonctions f, défirues sur IR, à
valeurs dans R, continues en 0 et en 1 telles
que, pour tout réel x :
f(x
2 ) = f(x)
Dérivabil ité
Donner la dérivée de la fonction X E lR H ln (2 + cos x).
On considère la fonction h 1 défirue,
pour tout réel x, par: h 1 (x) = e-x .
Montrer que h 1 est de classe C
00 sur IR, et déterminer, pour tout entier naturel non nul n,
l' expression de sa dérivée n ième .
On considère la fonction h 2 définie,
pour tout x de R \ { 1 } , par :
l
h2(x) = - -
l - x
Montrer que lt 2 est dé1ivable sur R \ { l }, et
déterminer, pour tout entier naturel non nul
n, l'expression de sa dérivée ni ème.
On considère la fonction f définie,
pour tout réel x, par :
f(x)={l -
1
e-7 six:FO
SÎ X= Ü
Étudier la continuité et la dérivabilité de f .
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Exercices
Pour s'entraÎner
(solutions p . 133)
par :
On considère la fonction f définie
f(x) = {e- ; s~ x >=F 0
Û SI X,::; Û
Étudier la continuité de f.
On considère la fonction g définie
par:
()
{
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1
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1 1
six
Ü Si X = 1 OU X = - 1 OU X = Ü
Étudier la continuité de g.
On considère la fonction h définje
par:
h( ) _ { - 2 -
1
- si x E R \ { - 1, 1 }
X -
X - l
Û
Si X = 1 OU X = - 1
Étudier la continuité de h.
On considère la fonction ip définie
par:
ip(x) = { x s in G) si x * 0
Û
Si X= Û
Étudier la continuité de ip.
On considère la fonction l/f définie
par:
l/f(x) = E(x) + lx - E(x)l
4
Étudier la continuité de l/f.
Soient 1l E ]0, l[, et f une fonction
continue sur l ' intervalle [1l, +oo(, telle que
f(À) = 0 et lim f(x) =O.
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Soit F la fonction définie sur JO, 1 J ~ R par:
F(x) = f G + À. - 1)
6.a) Montrer que F est bien définie sur
JO, l].
6.b) Étudier la continuité de F sur JO, l].
6.c) Montrer que F est prolongeable par
continuité sur [0, l].
Une équation fonctionnelle
Déterminer les fonctions f, défirues sur IR, à
valeurs dans R, continues en 0 et en 1 telles
que, pour tout réel x :
f(x
2 ) = f(x)
Dérivabil ité
Donner la dérivée de la fonction X E lR H ln (2 + cos x).
On considère la fonction h 1 défirue,
pour tout réel x, par: h 1 (x) = e-x .
Montrer que h 1 est de classe C
00 sur IR, et déterminer, pour tout entier naturel non nul n,
l' expression de sa dérivée n ième .
On considère la fonction h 2 définie,
pour tout x de R \ { 1 } , par :
l
h2(x) = - -
l - x
Montrer que lt 2 est dé1ivable sur R \ { l }, et
déterminer, pour tout entier naturel non nul
n, l'expression de sa dérivée ni ème.
On considère la fonction f définie,
pour tout réel x, par :
f(x)={l -
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e-7 six:FO
SÎ X= Ü
Étudier la continuité et la dérivabilité de f .
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