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Les ensembles de nombres
Un ensemble E est une collection d'objets, qui constituent les «éléments» de l'ensemble. Le nombre d'éléments de l'ensemble peut être fi ni , ou infini.
1. Notation
Pour décrire l'ensemble, on utilise des accolades, à l' intérieur desquelles on écrit les
éléments de l'ensemble.
Suivant les cas, on peut, simplement, placer, à l'intérieur des accolades, la liste des éléments de l'ensemble; ainsi, dans le cas d'un ensemble E avec un nombre fin i d'éléments
e1, . .. , e 11 , où n est un nombre entier positif, on écrit:
E = {e,, . . . ,e 11 }
ou bien, dans le cas d'un ensemble d'éléments vérifiant une propriété donnée 'P, on écrit
E = {xl'P(x)} ou encore {x, 'P(x)} ou encore {x; 'P(x)}
ce qui désigne ainsi l'ensemble des éléments x tels que la propriété 'P soit vérifiée pour x.
Exemples
1. {l, 2, 3, 4) est un ensemble. Ses éléments sont les nombres 1, 2, 3 et 4.
2. {3, 4, 5, 6,, .. . } est un ensemble. Ses éléments sont les nombres entiers supérieurs ou égaux
à 3.
3. {x E {l, 2, 3, 4, 5, 6} lxest impair}= {l , 3, 5} .
>- Les entiers nature ls
L'ensemble des entiers naturels, c'est-à-dire des entiers positifs ou nuls, est noté N:
N = {O, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
>- Les nombres pairs
L'ensemble des entiers naturels pairs est noté 2 N :
2N = {0, 2, 4, 6, ... } = {2n, n EN}
>- k N, k E N
Étant donné un entier naturel k, k N désigne l'ensemble des entiers naturels mutiples de
k:
kN = {kn, n EN}
>- Les entiers relatifs
L'ensemble des entiers relatifs, c'est-à-dire des entiers qui sont soit positifs ou nuls, ou
négatifs ou nuls, est noté Z :
z = { . .. , - 5, - 4, - 3, - 2, -1 , 0, 1, 2, 3, 4, 5, . .. }
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