....
..c
Ol
·;::
>0..
0
u
>- Dérivées partielles d'ordre supérieur
Fonction de classe C
2
Soit f une application définie sur un domaine ouvert 1J de IR.
2 (resp. IR.
3 ) , à valeurs
dans IR.
f est dite de classe C
2 sur 1J si et seulement si elle est de classe C
1 sur 1J et si ses
dérivées partielles a f et a f (resp. a f, ô f et ô f ) sont aussi de classe C 1 sur D.
ôx ôy
ôx ôy ôz
Théorème de Schwarz
Théorème
Pour toute application f de classe C
2 sur un domaine ouvert 1J de IR.
2 ( resp. IR.
3 ), à
valeurs dans IR :
- - = - -
8x8?J 8y8x
=
ôxôz 8z8x
Matrice hessienne
Soit f une application de classe C
2 sur un domaine ouvert 1J de IR.
2 (resp. IR.
3 ), à valeurs
dans IR.
On appelle matrice hessienne de f en un point M(x, y) E 1J (resp. M(x, y, z) E D)
la matrice des dérivées partielles secondes de f en M :
a 2 f ô 2 f
8x 2 ôxôy
1{f =
a 2 f a 2 f
axa y ôy2
a 2 f a 2 f a 2 f
- - - -
ôx 2 ôxôy ôx8z
resp. 1{f =
a 2 f a 2 f a 2 f
ôxôy 8y2 8yôz
a 2 f a 2 f a 2 f
ôxôz ôyôz 8z 2
Grâce au théorème de Schwarz, la matrice hessienne est donc une matrice symétrique, puisque
la fonction f est de classe C
2 .
127