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f est dite différentiable en M E '])si et seulement s' il existe une application linéaire
de R
2 (resp. R 3 ), à valeurs dans R, notée dfM telle que, pour tout (h, k) E R
2 de norme
suffisamment petite :
f(x + h, y + k) = f(x, y)+ h
0
0
f (x, y)+ k _of (x, y)+ Vr- h 2 _+ _ k _ 2 e(h, k)
X
oy
= f(x , y) + dfM(x, y) + Yh 2 + k 2 e(h, k)
où e est une fonction définie sur R
2 , à valeurs dans R, telle que :
lim e(h, k) = 0
(h,k)->(0,0)
(resp. pour tout (h, k, t) E R 3 de norme suffisamment petite :
of
ôf
f(x + h, y+ k , z + l) = f(x, y, z) + h OX (x, y, z) + k oy (x, y, z)
ôf
+ e oz (x,y,z) + .../h 2 + k 2 + l 2 e(h, k, l )
= f(x, y, z) + dfM(x, y, z) + .../h 2 + k 2 + l 2 e(h, k, l)
où e est une fonction définie sur R 3 , à valeurs dans R, telle que :
lim
e(h, k, t) = 0)
(h,k,t)->(0,0)
Différentielle
Soit f une application de classe C
1 sur un domaine ouvert ']) de R
2 (resp. R
3 ) , à valeurs
dans Rd .
O n appelle différentielle de f au point Mo E 'D, que l'on note dfMo· l'application
linéaire :
2
of
of
(h, k) E R H h OX (xo, Yo) + k oy (xo, Yo )
(
ar
ôf
of
)
resp. (h, k, l) E R
3
H h o. x (xo, yo, zo) + k oy (xo , ljQ, zo) + l Bz (xo, !Jo, zo)
:>- Dérivation composée
Théorème
Soient f une application d'un domaine ouvert ']) de R
2 , à valeurs dans un intervalle
I c R, de classe C
1
, cp et t/! deux applications de I dans ']), de classe C
1
•
Alors, en tout point M(x, y) E 'D, la fonction composée (x, y) H f (cp(x, y), t/f(x, y)) est
de classe C
1
, et:
o .
ocp [of]
ox [j (cp(x, y), t/f(x, y))] = ox x ox
.
+
(cp(x,y),rjl(x,y))
ot/f [of]
OX X Olj (cp(x,y),rjl(x,y))
.!.__ [f(cp(x,y),t/!(x,y))] = ocp X [of]
+ Ot/! X [of]
oy
oy
ox (cp(x,y),r/J(x,y)) oy
oy (cp(x,y),r/J(x,y))
Cette formule se généralise aux fonctions de trois variables.
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