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On appelle rotationnel de f en Mo e 'D, le vecteur :
~ Différentielle
~
rotf =
[
j~ l
V /\ lz (xo , yo, zo)
o
og
°!
oz
of~
a1~
oy (xo, Yo, zo) - oz (xo, Yo , zo)
ofx
()fz
-
8
(xo, yo, zo) - -
8
(xo, yo, zo)
Z
X
On peut considérer que, de façon implicite, la notion de différentielle a été introduite
au xvmc siècle par Leohnard Euler et Alex is Clairaut, qui ont remarqué que, pour une
fonction de deux variables x et y , la quantité :
ôf
ôf
df = OX (x, y) dx + o/X, y) dy
est invariante par changement de base.
Si l' on écrit cette quantité sous la forme :
( of
of
) (dx)
ox (x, y) àx (x, y)
dy
on peut donc considérer que c' est l' image, par l'application linéaire de matrice
( ôf (x, y) ôf (x , y)), du vecteur dont les composantes sont les quantités infin itésimales
ox
fJx
( dx)
dx et dy, dy .
Plus récemment, c 'est le mathématicien Maurice Frechet
1 , qui a vraiment formalisé la
notion de différentielle .
Application différentiable
Soit f une application de classe C
1 sur un domaine ouvert 1J de R
2 (resp. R 3 ), à valeurs
dans Rd .
1. Les fameux « espaces de Frechet », sont des espaces vectoriels topologiques complets, mais topologie
est induüe par une famille dénombrable et séparante de semj-normes (l'axiome de séparation n' est pas
satisfait), et non de normes.
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