....
..c
Ol
·;::
>0..
0
u
Pour tout vecteur û de R 2 (resp. R 3 ), on appelle dérivée suivant le vecteur ü de f au
point Mo E V la limite, sous réserve d'ex istence:
1
. f(Mo + t Û) - f(Mo)
1 m - - - - - - - -
1-.o
t
> Gradient
Soit f une application de classe et sur un domaine ouvert V de R
2 (resp. R
3 ) , à valeurs
dans R
On appelle gradient de f en Mo E V, le vecteur :
----t
ôf
... ôf
7
gradf (M) = 'il f(M) = -
8
(xo , Yo) i + -
8
(xo, Yo) J
X
1j
(
----t
âf
... âf
... âf
... )
resp. gradt(M) = 'il f(M) = ôx (xo, yo, zo) i + ôy (xo, yo, zo) j + Bz (xo, yo, zo) k
Le symbole 'il est appelé « nabla » .
> Divergence
Soit f une application de classe et sur un domaine ouvert V de R 2 (resp. JR 3 ), à valeurs
dans JR 2 (resp. JR 3 ).
On appelle divergence de f en Mo e 1J, le scalaire :
d . j' ôfx (
) ôf;1(
)
iv = -ô xo , Yo + -ô . xo , Yo
X
y
(
. . ôf'K
ôfy
ôfz
)
resp. div f = ô~ (xo, yo, zo) + ôy (xo, yo, zo) + ôx (xo, yo, zo)
La divergence est une quantité extrêmement utilisée en mécanique des fluides : elle permet de
traduire - ou non - !'incompressibilité. Si l'on considère Je champ de vecteurs constitué par les
vecteurs vitesses des particules d' un fluide occupant initialement un volume~. la divergence
est proportionnelle au taux d'expansion relatif ~J. Ainsi, pour un fluide incompressible, la
divergence sera nulle .
> Rotationnel d'un champ de vecteurs de l'espace
Soit f : (x, y, z) H (!xCx, y, z), f;/x, y, z), fz(x, y, z)) une a pplication de classe C
1 sur un
domaine ouvert V de JR 3 , à valeurs dans JR 3 .
124