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>- Équivalence de normes
Définition
Deux normes N 1 et N 2 sur !Rd sont dites équivalentes s' il existe deux réels strictement
positifs a et b tels que, pour tout vecteur ü de !Rd :
Propriété
Sur !Rd, toutes les normes sont équivalentes.
1
Exemple
L'application JR. 3 -t JR. 3 , i1 = (x,y, z) H sup {lxl, lyl, lzl}, est une norme sur JR. 3 .
>- Convergence d'une suite de JR.
2
Définition
Une suite (xn, y 11 ) 11 EN de !R
2 converge vers une limite (Cx, ly) E !R
2 si, pour tout réel
strictement positif e, il existe un rang no tel que, pour tout entier n ~ no :
>- Convergence d'une suite de JR. 3
Définition
Une suite (Xn, Yn· Z11)1·1EN de JR 3 converge vers une limite ce.~, ly, fz.) E JR 3 si, pour tout
réel strictement positif e, il existe un rang no tel que, pour tout entier n ~ no :
Cette dernière propriété est extrêmement intéressante et pratique : pour étudier la convergence
d'une suite de Rd, on choisit bien évidemment la norme la plus adaptée!
2. Boules, ouverts, fermés, ...
>- Boule ouverte
Définition
On appelle boule ouverte de !Rd, de centre Mo E !Rd et de rayon r E JR: l'ensemble,
noté B(Mo, r) , des points M(x, y, z) tels que:
----+
llMoMll < r
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