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Topologie
En physique, chimie, biologie, les quantités que l'on rencontre ne dépendent pas, en général, d'un seul paramètre. C'est ce quel' on appelle des fonctions de plusieurs variables.
C'est le cas, par exemple, de l'énergie potentielle électrique d'un système de deux
charges électriques q1 et q2, distantes de r :
où so est la permittivité du vide.
Pour étudier les fonctions de plusieurs variables, les mathématiciens ont cherché à
étendre les résultats déjà existants pour les fonctions d'une variable réelle.
Toutefois, des outils supplémentaires s'avèrent indispensables : dans R, 1 ' écart entre
deux réels se mesure facilement. Dès que l'on passe à un espace de dimension supérieure, 2 ou 3, c'est un peu plus compliqué. Ce cours présentera donc, dans un premier
temps, quelques notions de topologie élémentaire.
D'autre part, on se restreindra au cas de fonctions de deux ou trois variables, c'està-dire définies dans des domaines de JR 2 ou JR 3 , et qui correspondent aux variables bidimensionnelles et tridimensionnelles usuelles : coordonnées polaires, cylindriques et
sphériques.
Notation
Dans ce qui suit, d peut prendre les valeurs 1, 2 ou 3, suivant que la fonction considérée
est à valeurs dans R, R
2 , JR3.
1. Normes
Définition
Une norme sur Rd est une application, notée Il · Il, ou parfois N, à valeurs dans R+ qui
doit vérifier les troix ax iomes suivants :
• séparation :
V a E Rd llilll = 0 ~ a= ô
• homogénéité :
• inégalité triangulaire :
111
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En physique, chimie, biologie, les quantités que l'on rencontre ne dépendent pas, en général, d'un seul paramètre. C'est ce quel' on appelle des fonctions de plusieurs variables.
C'est le cas, par exemple, de l'énergie potentielle électrique d'un système de deux
charges électriques q1 et q2, distantes de r :
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Pour étudier les fonctions de plusieurs variables, les mathématiciens ont cherché à
étendre les résultats déjà existants pour les fonctions d'une variable réelle.
Toutefois, des outils supplémentaires s'avèrent indispensables : dans R, 1 ' écart entre
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temps, quelques notions de topologie élémentaire.
D'autre part, on se restreindra au cas de fonctions de deux ou trois variables, c'està-dire définies dans des domaines de JR 2 ou JR 3 , et qui correspondent aux variables bidimensionnelles et tridimensionnelles usuelles : coordonnées polaires, cylindriques et
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Notation
Dans ce qui suit, d peut prendre les valeurs 1, 2 ou 3, suivant que la fonction considérée
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1. Normes
Définition
Une norme sur Rd est une application, notée Il · Il, ou parfois N, à valeurs dans R+ qui
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