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En injectant cette expression dans l'équation avec second membre, on obtient, pour
tout x del:
(a(x) tl(x) + tl'(x) e'.7';,(x) = a(x) tl(x) e'.F~(x) + b(x)
ce qui conduit à :
,{' (x) = b(x) e-'.l';,(x)
Il suffit donc de prendre, pour tl, une fonction dont x H b(x) e - '.7';,(x) soi.t la dérivée sur /.
Exemple
Résolvons, sur JO, oo[, l'équation différentielle:
y' = f!_ + 1 (8)
X
L'équation homogène associée est :
y'= f!_
X
qui admet pour solutions, sur JO, +oo[, les fonctions de la forme x H À x, où /lest une constante
réelle.
À l'aide de la méthode de variation de la constante, on recherche une solution particulière de
l'équation différentielle avec second membre (8), sous la forme :
x H y(x) = A(x)x
On a alors, pour tout réel x strictement positif :
y' (x) = ;l' (x) x + /l(x)
En injectant dans (8), on en déduit, pour tout réel x strictement positif:
et donc:
I
1
À (x) x + /l(x) = - À(x) x + 1 = /l(x) + 1
X
X(x) = !
X
Par suite, pour tout réel x strictement positif :
/l(x) = ln x + C
où C est une constante réelle.
L'ensemble des solutions de (8) est donc l'ensemble des fonctions définies sur JR: par:
X H X ln x + c X
où C est une constante réelle.
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