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Exemple
Pour l'équation différentielle :
y'= y + sinx
on se ramène à l'équation différentielle:
y'= y+ eix
On cherche donc une solution particulière de la forme :
X H y(X) = À/x
où À est un nombre complexe, ce qui conduit, pour tout réel x, à :
y'(x) = u eix
En injectant dans l'équation différentielle, on en déduit, pour tout réel x :
ce qui conduit à :
1
1 + i
À= -
= - -
i - l
2
Une solution particulière de l'équation avec second membre initiale est donc:
( (
1 + i) . · )
( ( 1 + i)
. )
x H 'Re - -
2
- e'.x = Im - -
2
- (cosx + i smx)
= I m (-cos x -i sin x
2
- i cos x + sin x)
- cosx - sinx
=
2
3. Une méthode générale pour trouver une solution particulière
de l'équation avec second membre : la méthode de variation
de la constante
Soient a et b deux fonctions définies sur un intervalle Ide IR, à valeurs dans IR, continues.
Cherchons une solution particulière de l'équation différentielle linéaire du premier
ordre avec second membre :
y' = a(x) y + b(x)
La solution générale de l' équation homogène associée étant donnée par:
x H y(x) = À. e'fc,(x)
où À est une constante réelle arbitraire, et 'Ta une fonction telle que, pour tout x de I :
r;(x) = a(x)
on peut se demander s'il n'existerait pas des fonctions de la forme:
x H y(x) = À(x) e 'T,,(x)
qui soient solutions de l'équation avec second membre.
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