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>- Cas d'un second membre de type « polynôme x cosinus »
Soit:
y' (x) = œ y(x) + P(x) cos(r x)
où Pest une fonction polynomiale, et r un réel, on se ramène au cas précédent en recherchant une solution particulière sur C de l'équation différentielle :
y'(x) = œy(x) + P(x)eirx
Il suffit ensu. ite de prendre la partie réelle de la solution obtenue.
Exemple
Pour l'équation différentielle:
y' =y + COS X
on se ramène à l'équation différentielle:
y'= y + eix
On cherche donc une solution particulière, définie sur R., de la forme :
x H y(x) = Àeix
où /l est un nombre complexe, ce qui conduit, pour tout réel x, à :
y'(x) = illei x
En injectant dans l'équation différentielle, on en déduit, pour tout réel x:
ce qui conduit à :
À= _ 1_ = - 1 + i
i - 1
2
Une solution particulière de l'équation avec second membre initiale est donc:
( (
1 + i) . · )
( ( 1 + i)
)
x H 2
- eu = = 2
- i cos x +sin x )
- cosx + sin x
=
2
>- Cas d'un second membre de type « polynôme x sinus»
Soit:
y' (x) = œ y(x) + P(x) sin(r x)
où Pest une fonction polynomiale, et r un réel, on se ramène au cas «exponentielle x
polynôme» en recherchant une solution particulière sur C de l'équation différentielle :
y'(x) = œy(x) + P(x)eirx
Il suffit ensuite de prendre la partie imaginaire de la solution obtenue.
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