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et donc:
1
il= -
2
Une solution particulière del' équation avec second membre est donc :
x H y(x) = ~ e
3 x
2. Pour l'équation différentielle:
y'=2y + x
2 +1
le second membre est de type «exponentielle x polynôme », la fonction polynomiale étant
de degré 2.
On cherche donc une solution particulière, définie sur R, de la forme:
x H y(x) = (il x
2 + µ x + v) eoxx = il x
2 + µ x + v
où il, µ et v sont des réels, ce qui conduit, pour tout réel x , à :
y'(x ) = 2Ax + µ
En injectant dans l'équation différentielle, on en déduit, pour tout réel x:
2 il x + µ = 2 A x2 + 2 µ x + 2 v + x
2 + J
soit:
et donc:
Il en résulte :
2 (/l - µ) X+µ - 2 V= (2 il + ] ) x2 + l
/l=µ , µ - 2v=I
2il + 1=0
l
A=µ= -2
µ - 1
3
v= - - = -2
4
Une solution particulière de l'équation avec second membre est donc:
x2 X 3
X H y(X) = - 2 - 2 - 4
3. Pour l'équation différentielle:
y'= 2y + xex
le second membre est de type «exponentielle x polynôme», la fonction polynomiale étant
de degré 1.
On cherche donc une solution particulière, définie sur R, de la forme:
x H y(x) = (il x + µ) ex
où il etµ sont des réels, ce qui conduit, pour tout réel x, à :
y' (x) = (A x +il + µ) ex
En injectant dans l'équation différentielle, on en déduit, pour tout réel x:
y' (x) = (il x + il + µ) ex = 2 (/lx +µ) ex + x ex
soit:
et donc:
À= - 1
À - µ=0
Une solution particulière de l' équation avec second membre est donc:
X H y(x) = - (X + J) ex
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