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2. Pour l'équation différentielle:
y' =2y+(x+ 1) e
2 x
le second membre est de type «exponentielle x polynôme» , la fonction polynomiale étant
de degré 1.
On cherche donc une solution particulière, définie sur R., de la forme :
x H y(x) = (1 lx
2 + µx + v) e
2 x
où À, µ et v sont des réels, ce qui conduit, pour tout réel x, à :
y'(x) = (2 1lx + µ + 2Ax
2 + 2µx + 2 v) e
2 x
En injectant dans l'équation différentielle, on en déduit, pour tout réel x :
y' (x) = ( 2 À X + µ + 2 À x2 + 2 µ X + 2 V) e
2
X = 2 (1 1 x
2 + µ + µX + V) e
2
X + (x + 1) e
2
X
soit:
y'(x) = (2Àx + µ+) e
2 x = (x + l) e
2 x
et donc : 2 1l = 1 , µ = 1.
Une solution particulière de l' équation avec second membre est donc:
x H y(x) = ( ~ + x) e
2
x
• Deuxième cas: r-:/:. a .
On cherche une solution particulière, définie sur IR, de la forme :
xHQ(x)er x
où Q est une fonction polynomiale de degré inférieur ou égal au degré de P.
Exemples
1. Pour l'équation différentielle:
106
y'= y + e3x
le second membre est de type « exponentielle x polynôme», la fonction polynomiale étant
dedegré O.
On cherche donc une solution particulière, définie sur JR, de la forme :
x H y(x) = Àe 3 x
où À est un réel, ce qui conduit, pour tout réel x, à :
y'(x) = 3 Àe 3 x
En injectant dans l'équation différentielle, on en déduit, pour tout réel x :
3 1l e 3 x = 1l e 3 x + e 3 x
soit:
2 ,:i e3x = e3 x