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homogène associée. Ainsi, toute solution sur J de l' équation avec second membre est
telle que, pour tout réel x de J :
y(x) = y1(x) + Àe'l';,(x)
où ,l est une constante réelle arbitraire, et 'Fa une fonction telle que, pour tout x de J :
r;cx) = a(x)
>- Extension aux fonctions à valeurs complexes
•
On admet que l'ensemble des résultats précédents est généralisable aux fonctions à valeurs complexes, c ' est-:,.a-dire dans 2. Recherche de solutions particulières de l'équation avec second
membre, dans le cas où la fonction a est constante
>- Cas d'un second membre de type« exponentielle x polynôme»
Soit:
y' (x) = a y(x) + P(x) er x
où Pest une fonction polynom iale, et r et a deux réels.
• Premier cas : r = a .
On cherche une solution particulière, définie sur R, de la forme:
x H Q(x)ea x
où Q est une fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à degré de P + 1.
Exemples
1. Pour l'équation différentielle :
y' = 3 y - e3x
le second membre est de type« exponentielle x polynôme» , la fonction polynomiale étant
dedegré O.
On cherche donc une solution particulière, définie sur JR, de la forme:
x H y(x) = (Àx + µ) e 3 x
où ,let µ sont deux réels, ce qui conduit, pour tout réel x, à :
y'(x) =(À + 3Àx + 3µ) e
3 x
En injectant dans l'équation différentielle, on en déduit, pour tout réel x:
(À + 3 À X+ 3 µ) e 3 x = 3 (À x + µ) e 3 x - e 3 x
soit :
Àe3x = - e3x
et donc:
À= - 1
Une solution particulière de l' équation avec second membre est donc:
x H y(x) = -e 3 x
(Comme il n'y a pas de condition surµ, le casµ = 0 convient.)
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