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Exemple
On considère l'équation différentielle:
y'= y+ 2x +sin x
La fonction qui, à tout réel x, associe - 2 x - 2 est solution sur R. de l'équation différentielle:
y'= y+ 2x
L
""
.
. ,
, 1
.
sin x +cos x
1
.
1t:» d 1
,,
. d'a-'
a ionct10n qm, a tout ree x, associe -
2
est so ut10n sur ~ e equat1on iuerentielle :
y'= y + sinx
si n x +cos x
La fonction qui, à tout réel x, associe - 2 x - 2 -
2
est donc solution sur R. de
l'équation différentielle :
y' = y + 2 x + sin x
>- Solution générale d'une équation différentielle linéaire du premier ordre
avec second membre
Théorème
Soient a et b deux fonctions définies sur un intervalle l de IR, à valeurs dans IR, continues.
La. solution générale sur 1 de l'équation différentielle linéaire du premier ordre avec
second membre y' = a(x) y+ b(x) s'obtient comme somme de la solution générale sur
l de l'équation différentielle homogène associée, et d'une solution particulière sur l de
L'équation dUférentielle avec second membre.
Pour mémoriser ce résultat, on peut le retenir sous la forme :
Solution générale de l'équation avec second membre
Solution générale de l'équation sans second membre
+
Solution particulière de l'équation avec second membre
ou, sous forme« abrégée» :
Solution générale E .A.S.M.
=
Solution générale E.S.S.M .
+
Solution particulièr e E.A.S.M .
Démonstration : Ce résultat vient du corollaire précédent ; en effet, si on connaît une
solution Yt de l'équation di:fférentielJe avec second membre, définie sur un intervalle J ,
n' importe quelle solution sera de la forme y 1 + z, où z est une solution sur J de l'équation
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