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Équations différentielles linéaires
du 1er ordre avec second membre
1. Définitions et théorèmes
>- Équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre
Soient a et b deux fonctions définies sur un intervalle 1 de R , à valeurs dans R , continues.
On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre
une équation de la forme :
y' (x) = a(x) y(x) + b(x) V x E I
que l'on peut aussi écrire, pour alléger les notations :
y' = a(x) y + b(x)
>- Équation homogène associée à une équation différentielle linéaire
du premier ordre avec second membre
Soient a et b deux fonctions définies sur un intervalle I de R , à valeurs dans R , continues.
On appelle équation homogène associée à l'équation djfférentielle linéaire du premier
ordre avec second membre y = a(x) y+ b(x) l'équation :
>- Principe de superposition
Théorème
y' (x) = a(x) y(x) V x E 1
Soient a, b1 et b2 trois fonctions définies sur un intervalle I de R, à valeurs dans R,
continues.
Si Yi est une solution sur 1 de l'équation différentielle linéaire y' = a(x) y + b1 (x), et Y2
une solution sur 1 de l 'équation différentielle linéaire y' = a(x) y+b 2 (x), alors, pour tout
couple de réels CA1, ÀÙ À1 Y1 + À2 y2 est une solution sur I de l'équation d~fférentielle
Linéaire y' = a(x) y+ À1 b 1 (x) + À2 b2(x).
Corollaire
Soient a et b deux fonctions définies sur un intervalle 1 de R, à valeurs dans R, continues.
Si Yi et Y2 sont deux solutions sur Ide l'équation différentielle linéaire avec second
membre y' = a(x) y + b(x), alors la fonction différence y2 - /jl est une solution sur I de
l'équation différentielle homogène associée y' = a(x) y.
Démonstration: Sachant que y1 et Y2 sont solutions sur I de l'équation différentiell e
y' = a(x)y + b(x), on obtient :
Y2 - Yt = a(x) y; + b(x) - ( a(x) y~ + b(x)) = a(x) (y2 - Yt )'
D'où le résultat.
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