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où C est une constante réelle ; puis :
que l'on peut encore écire sous la forme:
.2
y(x) = K ex
où K est une constante réelle positive (cela revient juste à appeler autrement ec, qui est aussi
une constante).
On vérifi e que, réciproquement, toute fonction de la forme x E lR H K ex
2
, K E R., est
solution de y' (x) = 2 x y(x).
De façon équivalente, on peut écrire que l'ensemble des solutions de l'équation différentielle
initiale est :
2. Condition initiale (pour une équation différentielle linéaire
du premier ordre homogène)
Définition
Soient a une fonction définie sur un intervalle l de IR, à valeurs dans IR, continue, x 0
un réel de /, et Yo un réel.
On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre homogène, avec la
condition initiale y(xo) = xo, la donnée de l'équation différentielle :
y' (x) = a(x) y(x) V x E l
avec la condition :
y(xo) = Yo
>- Solutions d'une équation différentielle linéaire du premier ordre homogène
avec une condition initiale
Théorème
Soient a une fonction d~finie sur un intervalle l de IR, à valeurs dans IR, continue, xo un
réel de /, et Yo un réel.
L'équation d~fférentielle linéaire du premier ordre homogène :
y' (x) = a(x) y(x) V x E l
avec la condition initiale :
y(xo) = Yo
admet pour unique solution la fonction :
x E l H Yo e - '.Fc,(xo) e '.f;, (x)
où ra est une fonction telle que, pour tout X de I :
r;cx) = a(x)
(on admet l'existence d 'une telle fonction).
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