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Ainsi, si on arrive à trouver une fonction 'Ta dont a soit la dérivée sur J (c'est-à-dire
~~ = a), on aura, à une constante réelle C près :
ln iy(x)I = 'Ta(x) + C V x E J
(la dérivée de la fonction constante qui, à tout x de J, associe C, est la fonction identiquement nulle).
On en déduit alors, pour tout x de J :
On vérifie que, réciproquement, toute fonction de la forme x E J H ec /Ya(x) est solution de (8o).
On peut écrire que l' ensemble des solutions del' équation différentielle initiale est :
{x E J H é e'Tih), C E IR}
>- Solutions d'une équation différentielle linéaire du premier ordre homogène
Théorème
Soit a une fonction définie sur un intervalle Ide lR, à valeurs dans IR, continue.
Les solutions de l'équation diffërentielle linéaire du premier ordre homogène :
y' (x) = a(x) y(x) V x E 1
sont les fonctions de la forme :
x E I H K e'T,,(x)
où K est une constante réelle, et ra une fonction telle que, pour tout X de I :
r;(x) = a(x)
De façon équivalente, on peut écrire que l'ensemble des solutions de l'équation différentielle initiale est :
Exemple
Considérons l'équation différentielle :
y'(x) = 2xy(x)
On recherche les solutions y qui ne s'annulent pas sur R On a alors, pour tout réel x:
y'(x) = 2x
y(x)
La fonction qui, à tout réel x, associe 2 x, est la dérivée de la fonctio n qui, à tout réel x,
associe x 2 .
On en déduit, pour tout réel x :
ln ly(x)I = x
2 + C
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