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Équations différentielles linéaires
du 1er ordre homogènes
Une équation différentielle est un type d'équation un peu particulier, dans la mesure où
l'inconnue est une fonction, en général désignée par la notation« y». On parle d' « équation différentielle», dans la mesure où les dérivées de la fonction inconnue figurent aussi
dans l'équation. Par exemple, sil est un intervalle de R ,
y' (x) = 2 y(x) V x E I
y(x) y' (x) + x = 1 V x E I
(y'(x))
2 +y(x)+x = O Vx E I
sont des équations différentielles.
Dans ce qui suit, on ne s'intéressera qu'au cas des équations différentielles linéaires
du premier ordre, c'est-à-dire linéaires par rapport à la fonction inconnue y, et ne faisant
intervenir que la dérivée première y' de la fonction cherchée.
Définition
Soit a une fonction définie sur un intervalle Ide R, à valeurs dans R, continue.
On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre homogène une équation de la forme :
y'(x) = a(x)y(x) V x E I
où y est une fonction dérivable sur!. On peut aussi écrire, pour alléger les notations :
y'= a(x) y
1. Méthode pratique de résolution
Soit a une fonction définie sur un intervalle I de R , à valeurs dans R , continue.
On s'intéresse à l'équation différentielle linéaire du premier ordre homogène, que l'on
dés. ignera, dans ce qui suit, par (8o) :
y' = a(x) y
La fonction identiquement nulle sur l'intervalle I est solution de (8Q).
Considérons une solution y de (8 0 ), définie sur un intervalle J c !, non identiquement
nulle. On suppose que y ne s'annule pas sur J. Quitte à changer y en - y, on supposera
que y est à valeurs strictement positives.
On peut alors écrire :
y'(x)
- () = a(x)
yx
L c
·
· '
d J
· y' (x)
1 d' · ' d 1 c
·
· '
a 1onct1on qu1, a tout x e , associe - - , est a envee e a 1onct10n qui, a tout x
y(x)
de J, associe ln ly(x)I = ln (y(x)).
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