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>- Position de la courbe représentative d'une fonction convexe par rapport
à ses tangentes
Théorème
Une fonction f , définie sur un intervalle 1 de R, à valeurs dans R, dérivable sur ! , est
convexe si et seulement si sa courbe représentative est située au-dessus de toutes ses
tangentes.
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Figure 36.5 - Illustration graphique de la position de la courbe représentative d'une fonction
convexe par rapport à ses tangentes.
>- Convexité et dérivabilité
Théorème
Une fonction f, définie sur un intervalle l de R, à valeurs dans R, dérivable sur l , est
convexe si et seulement si sa dérivée f' est croissante.
>- Cas des fonctions deux fois dérivables
Corollaire
Une fonction f, définie sur un intervalle 1 de R, à valeurs dans R, deux fois dérivable
sur ! , est convexe si et seulement si sa dérivée seconde f" est à valeurs positives, c 'està-dire si et seulement si, pour tout réel x de I :
f"(x);;::: 0
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