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est au-dessus de la courbe. L'abscisse de ce point est donc de la forme If; x;, où t1, .. ., t 11 ,
i = l
Il
sont n réels positifs dont la somme vaut 1, et son ordonnée de la forme I t; f (x; ), qui est donc
i= I
plus grande que celle du point de la courbe d'abscisse t. t; x;, c'est-à-dire f ( t. t; f(x;)).
> Régularité d'une fonction convexe
Théorème
Une fonction f, définie sur un intervalle ouvert I de R, à valeurs dans R, convexe, est
continue, et admet, en tout point de /, une dérivée à droite et une dérivée à gauche.
~ L'hypothèse selon laquelle l'intervalle l doit être ouvert est essentielle!
> Inégalité des pentes croissantes
Théorème
Une fonction f, définie sur un intervalle Ide R, à valeurs dans R, dérivable sur/, est
convexe si et seulement si, pour tout réel a de /, la fonction qui, à tout x de /, distinct
d
. l
f(x) - f(a)
.
.
, . l
, d'
e a, associe e rapport
est croissante, ce quL est equiva ent a ire que, pour
x - a
tout triplet de réels (a, b, c) de l tel que a < b < c :
98
f(b) - f(a) & f(c) - f(a) & f(c) - f(b)
b -a
~
c - a
~
b - c
Ce théorème traduit, tout simplement, Je fait que la pente, ou coefficient directeur, de la droite
joignant les points de coordonnées (a, f(a)) et (b, f(b)), est plus petite que la pente de la droite
joignant les points de coordonnées (a,f(a)) et (c,f(c)), qui est elle-même plus petite que la
pente de la droite joignant les points de coordonnées (b, f(b)) et (c, f(c)), comme illustré sur
le dessin suivant :
y
~~- ~ 1--.0...-~~~~~ b ~~~~~-- x
-1
a
c
Figure 36.4- Illustration graphique de l'inégalité des pentes croissantes.