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Figure 36.2 - Le graphe d' une fonction concave.
2. Théorèmes
:>- Position de la courbe représentative d'une fonction convexe par rapport
à ses cordes
Une fonction f, définie sur un intervalle I de IR., à valeurs dans IR., est convexe si et
seulement si sa courbe représentative est située en-dessous de toutes les cordes joignant
deux points de cette courbe.
y
cordes
1
~~~~-+-~~~~~~~~~~~-- x
-1 - 1
Figure 36.3- Illustration graphique de la position de la courbe représentative d'une fonction
convexe par rapport à ses cordes.
:>- Inégalité de convexité (ou inégalité de Jensen 1 )
Théorème
Soient f une fonction définie sur un intervalle I de R, à valeurs dans IR., convexe, et
Il
t1, .. ., t 11 , n réels positifs dont la somme vaut 1 : f i + ... + t 11 = I fi = 1. Alors, pour
i= .
1
tout n - uplet (xi, . . . , Xn) de l'1 :
Cette définition traduit, tout simplement, le fait que tout barycentre d'un ensemble de points
situés sur la courbe, de coordonnées respectives (x1, /(x 1 )), . . . , (x 11 , f(x 11 )) , (x1, . . . , x,,) E !
11
,
1. Mathématicien danois, 1859- 1925.
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