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Convexité
La notion de convexité correspond à une réalité physique; ainsi, en optique, une lentille dite« convexe» est un verre« bombé vers l'extérie ur ». Lorsqu'on la pose sur une
table, sa forme «bombée» fait que, quelle que soit sa position, la table reste toujours
tangente au verre. De façon équivalente, en mathématiques, la première caractérisation
de la convexité, qui s'applique à des courbes, est liée au fait que le barycentre d' un système de points situés sur la courbe doit se trouver au-dessus de celle-ci (les fameuses
« inégalités de convexité»), ou encore, que la courbe est située au-dessous de toutes ses
cordes.
1. Définitions
> Fonction convexe
Une fonction f, définie sur un intervalle l de Ill, à valeurs dans Ill, est dite convexe si,
pour tout couple (a, b) d'éléments de !2, et tout réel t de l' intervalle [O, l ] :
f(ta + (1 - t)b) ~ tf(a) + (1 - t)f(b)
Cette définition traduit, tout simplement, le fait que tout point situé sur une corde joignant
deux points de la courbe, de coordonnées respectives (a,f(a)) et (b,f(b)), (a, b) E 12, est
au-dessus de la courbe. Ce point étant sur la corde, son abscisse est de la forme ta + ( 1 - t) b,
t E [O, 1], et son ordonnée de la forme t f(a) + ( 1 - t) f(b ), qui est donc plus grande que celle
du point de la courbe d'abscisse ta+(! - t) b, c'est-à-dire f (fa + (l - t)b).
y
f(b) - - -
~~~~-+-~~~~~~~~~~~-- x
- 1 - l
a
b
point de la corde
Figure 36.1- Le graphe d' une fonction convexe.
> Fonction concave
Une fonction f, défi nie sur un intervalle l de Ill, à valeurs dans Ill, est d ite concave si,
pour tout couple (a, b) d'éléments de I2 , et tout réel t de 1' intervalle [0, 1] :
f (ta+ (l - t)b) ~ tf(a) + (l - t)f(b)
~ Dire qu' une fonction f est concave revient donc à dire que son opposée - f est convexe.
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Fiche 65
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La notion de convexité correspond à une réalité physique; ainsi, en optique, une lentille dite« convexe» est un verre« bombé vers l'extérie ur ». Lorsqu'on la pose sur une
table, sa forme «bombée» fait que, quelle que soit sa position, la table reste toujours
tangente au verre. De façon équivalente, en mathématiques, la première caractérisation
de la convexité, qui s'applique à des courbes, est liée au fait que le barycentre d' un système de points situés sur la courbe doit se trouver au-dessus de celle-ci (les fameuses
« inégalités de convexité»), ou encore, que la courbe est située au-dessous de toutes ses
cordes.
1. Définitions
> Fonction convexe
Une fonction f, définie sur un intervalle l de Ill, à valeurs dans Ill, est dite convexe si,
pour tout couple (a, b) d'éléments de !2, et tout réel t de l' intervalle [O, l ] :
f(ta + (1 - t)b) ~ tf(a) + (1 - t)f(b)
Cette définition traduit, tout simplement, le fait que tout point situé sur une corde joignant
deux points de la courbe, de coordonnées respectives (a,f(a)) et (b,f(b)), (a, b) E 12, est
au-dessus de la courbe. Ce point étant sur la corde, son abscisse est de la forme ta + ( 1 - t) b,
t E [O, 1], et son ordonnée de la forme t f(a) + ( 1 - t) f(b ), qui est donc plus grande que celle
du point de la courbe d'abscisse ta+(! - t) b, c'est-à-dire f (fa + (l - t)b).
y
f(b) - - -
~~~~-+-~~~~~~~~~~~-- x
- 1 - l
a
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point de la corde
Figure 36.1- Le graphe d' une fonction convexe.
> Fonction concave
Une fonction f, défi nie sur un intervalle l de Ill, à valeurs dans Ill, est d ite concave si,
pour tout couple (a, b) d'éléments de I2 , et tout réel t de 1' intervalle [0, 1] :
f (ta+ (l - t)b) ~ tf(a) + (l - t)f(b)
~ Dire qu' une fonction f est concave revient donc à dire que son opposée - f est convexe.
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