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Développements asymptotiques
À la fin du XIXe siècle, le mathématicien Henri Poincaré
1 s' intéresse au problème « des
trois corps » , qui est un cas particulier du problème dit «des N corps » , où on cherche
à décrire le système formé par N corps célestes (étoiles, planètes), dont les mouvements
sont régis par les lois de l'attraction universelle, et à étudier leur stabilité. Dans le cas
«des trois corps » , qui sont en fait le Soleil , la Terre, la Lune, de masses respectives
1n1une
'
.
mtune
,
msoleil• m 1 erre • m1u11e• le rapport - - est tres petit: - - « 1. Pour resoudre ce prom soieil
m soleil
blème, Poincaré eut l' idée d 'effectuer un développement limité par rapport à cette dernière quantité. C'est ainsi qu' est apparue la notion de« développement asymptotique»,
la grandeur msoleil étant« très grande ».
De façon générale, un développement asymptotique est obtenu lorsqu'une des quantités en jeu tend vers une limite infin ie. L' inverse de cette quantité tendant vers zéro, il
est alors possible de se ramener à un développement limité au voisinage de zéro.
Exemples
1. Lorsque n tend vers +oo :
(On a effectué un développement asymptotique à l'ordre 2 en~.)
n
Ainsi:
(
1 )"
lim 1 - - = e
n-t + oo
n
2. Lorsque n tend vers +oo :
sin (rr Vn
2 + n) = sin ( nn R) = sin (nn { 1 + 2
1
n - 8
~ 2 + o (: 2 )})
= sin (nrr+ i- ;n +o(~))
=
cos (n 1T - .!!._ + o (~))
8n
n
=
( - 1 )
11 cos (- ;n + o ( ~))
=
( - 1)
11 cos ( Snn + o ( ~))
= (- 1)" {1 - ~ ~ +o (~)}
2 64n 2
n2
= (-1)'
1 {1 - ~ + o (~)}
128 n 2
n 2
(On a effectué un développement asymptotique à l'ordre 2 en f. .)
Ainsi, sin (tr ~)n'a pas de limite lorsque n tend vers l' infini.
l. 1854-1 912. Outre ses apports aux mathématiques (il est considéré comme un des fondateurs de la topologie), il apporta aussi de nombreuses contributions à la physique théorique, en optique et en relativité.
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À la fin du XIXe siècle, le mathématicien Henri Poincaré
1 s' intéresse au problème « des
trois corps » , qui est un cas particulier du problème dit «des N corps » , où on cherche
à décrire le système formé par N corps célestes (étoiles, planètes), dont les mouvements
sont régis par les lois de l'attraction universelle, et à étudier leur stabilité. Dans le cas
«des trois corps » , qui sont en fait le Soleil , la Terre, la Lune, de masses respectives
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blème, Poincaré eut l' idée d 'effectuer un développement limité par rapport à cette dernière quantité. C'est ainsi qu' est apparue la notion de« développement asymptotique»,
la grandeur msoleil étant« très grande ».
De façon générale, un développement asymptotique est obtenu lorsqu'une des quantités en jeu tend vers une limite infin ie. L' inverse de cette quantité tendant vers zéro, il
est alors possible de se ramener à un développement limité au voisinage de zéro.
Exemples
1. Lorsque n tend vers +oo :
(On a effectué un développement asymptotique à l'ordre 2 en~.)
n
Ainsi:
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2. Lorsque n tend vers +oo :
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(On a effectué un développement asymptotique à l'ordre 2 en f. .)
Ainsi, sin (tr ~)n'a pas de limite lorsque n tend vers l' infini.
l. 1854-1 912. Outre ses apports aux mathématiques (il est considéré comme un des fondateurs de la topologie), il apporta aussi de nombreuses contributions à la physique théorique, en optique et en relativité.
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