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g(x) = X, et on effectue le développement limité de f en zéro à un ordre suffisamment
élevé p afin que le développement de la fonction composée soit bien d'ordre n par rapport
àx :
(f 0 g) (x) = f(X) = ao +ai X + a2 X
2 + ... + Œn XP + o(XP)
Il reste ensuite à développer à l'ordre n par rapport à x les termes X = g(x), x2 = (g(x))
2 ,
.. . , XP = (g(x))P, en ne gardant que les termes en x
1 •
Exemple
Au voisinage de 0, à l'ordre 4:
.
sin
2 x sin
4 x
( . 4 )
cos(srnx) =
1 - - - + - - + o srn x
2 2 4 !
2
l (
x
3
(
4 ))
1 (
x
3
4 )
(
4 )
= 1 - 2 X - 3! + 0 X + 4 ! X - 3! + o(x ) + 0 X
x2 5x
4
=
1 - - + -
+ o (x
4
)
. 2
24
4. Quatrième principe
Pour déterminer le développement limité, au voisinage de zéro, à un ordre n E N*, de la
composée de deux fonctions f et g, il faut faire très attention dans les cas où la fonction g
ne tend pas vers zéro en zéro !
Exemple
Au voisinage de 0, à l'ordre 2 :
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