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Exemples
1. Calcul à éviter
Pour déterminer un développement limüé à l'ordre 4 en zéro de la fonction x H ex sin x, il
est peu judicieux de procéder ainsi :
(
x2
x3 x4
)(
x3
)
e~· sinx = 1 +x + ;! + 3! + 4
! +o(x
4
)
x - 3! + o(x
4
)
x3 x4 x5
=
x + x 2 + - + - + - + o (x
4
)
2
6
24
+ ... + honibles fractions
2. Calcul modèle
Pour déterminer un développement 1 imité à l' ordre 4 en zéro de la fonction x H ex sin x, il
est préférable de procéder ainsi :
(
x2
x3
x4
) (
x3
)
ex sin x = 1 + x + 2! + 3! + 4
! + o (,é) x - 3! + o ( x
4
)
=
x (1 + x + x 2 + x3 + x4 + o (x4))
2
3 ! 4 !
- x3 (1 + x + x2 + x3 + x4 + o (x4))
3 !
2 ! 3 ! 4 !
+o(x 4 ) (1 + x+~ + 3 x
3
1 + < +o(x
4
))
2.
. 4 .
=
x3 x4
x3 x4
x + x 2 + - + - + o (x 4 )- - - - + o (x: 4 )
2
3!
3! 3!
,
3
4
x3
4
x+ x 2 + ~ + ::__ + o(x 4 )- - _ ::_ +o(x 4 )
2
3 !
3 ! 3 !
=
=
3. Troisième principe
Pour déterminer le développement limité au voisinage de zéro, à un ordre n E N*, de
la composée de deux fonctions f et g, où g tend vers zéro : on commence par poser
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