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Opérations algébriques et composition
des développements limités
Lorsque l'on veut calculer Je développement limité d'une fonction, on commence par
se ramener à un développement limité au voisinage de 0 (si cela est nécessaire, on pose
donc x = a + h, avec h tendant vers 0). Nous nous contenterons donc, dans ce qui suit,
de parler des développements limités au voisinage de O.
1. Premier principe
Dans un développement limité, il est inutile de conserver des termes plus petits que le
reste.
Ainsi, pour un développement limité à un ordre n donné (n E N*), si p est un entier
strictement plus grand que n :
xP + X' s(x) = x'' s(x)
xP s(x) + X' s(x) = X' s(x)
ou encore, avec la notation « petit o » :
xP + 0 (.x'
1
) = 0 (J!')
(ceci vient du fait que xP = X
1 Xp-n = X
1 s(x)).
On prendra bien garde au fait que ces égalités se lisent de la gauche vers la droite, et non
l'inverse!
À partir de ce principe, il est facile de calculer la somme ou le produit de deux développements limités.
Exemple
Au voisinage de 0 :
2. Second principe
Pour éviter des calculs trop lourds et pénibles, on n'explicite les «factorielles » qu'à la
fin !
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