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EJ
>- Développement limité au voisinage de O des fonctions trigonométriques hyperboliques en O
Théorème
Pour tout réel x tendant vers 0 :
x 2
x 4
x6
x2n
Ch (x) = 1 + - + - + - + + - - + x
211 +
1 c-(x)
2 ! 4 ! 6 ! · · · (2n) !
c.
x2 x4 x6
x 211
1 + - + - + - + ... + - - + o (x2n+ 1)
2 ! 4 ! 6 !
(2n) !
n
2k
L - x - + o(x2n+I)
k=O (2k) !
x3 xs x7
_x2n+ 1
sh (x) = x + 3î + 5î + 7! + .. . + ( 2
n + 1
) ! + x
211
+
2 c(x)
x3 xs x7
x2n+I
= X+ - + - + - + ... +
+ 0 (x2n+2)
3 ! 5 ! 7 !
(2n + 1 ) !
11
2k+ I
L
,x
+ o(x2n+2 )
k=O (2k + 1) !
x3 2x5 l7x7 8
th(x) = x - 3
+ 15
-
315
+x c(x)
x
3
2x
5
17x
7
8
= X - 3 + lS - 315 + O (X )
De même que pour la fonction tangente, on ne donne pas, ici, de développement limité à
l'ordre n., au voisinage de zéro de la fonction tangente hyperbolique, qui fait aussi intervenir
les nombres de Bernoulli.
x 3
x5
.x2n+ l
arothx = x + - + - + ... + - - + x
211 +
2 &(x)
e>
3
5
2n + 1
x3 X5
.x211 + I
= X + 3 + S + ... + 2n + 1 + O (x2"+
2
)
>- Développement limité au voisinage de Ode la fonction x H (1 +x)a, a Em.*
Théorème
( 1
-)a _ 1
a (a - l) 2
a (a - 1) ... (a - n + 1) .Ji
11 ( )
+ x - + œx+
x + ... +
.-t +x ex
2
n!
a(œ - 1) 2
a(œ -1 ) . . . (œ - n +l )_Jl
c-Jl,)
l + ax+
x- + ... +
x +o x
2
n!
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