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>- Développement limité au voisinage de O de la fonction exponentielle
Théorème
Pour tout réel x tendant vers 0 :
x
2
x 3
x
11
ex = 1 +X+ l + 3ï + . . . + n ! + X
1 ê(X)
x2 x
3
X
1
= l +X+ -
2
+ -
3
f + ... + - 1
+ 0 (x
1
)
.
n.
>- Développement limité au voisinage de O des fonctions trigonométriques
Théorème
Pour tout réel x tendant vers 0 :
90
x2 x4 x6
x2n
cos x = l - - + - - - + ... + (- 1 )'
1
- - + x
2 n+
1 e(x)
2 ! 4 ! 6 !
(2n) !
x2
x4
x6
x2n
1 - _· + - - - + . .. + (- 1 r - + 0(x2n+1)
2 ! 4 ! 6 !
(2n) !
i ( - 1 )k ~k + o ( x2n+ 1)
k=O
(2k).
x3
x5 x?
x2n+I
sinx = x - - + - - - + + (-1 )'1
+ x2n+ 2 e(x)
3 ! 5 ! 7 ! · · ·
(2n + 1) !
x3 x5 x1
x2n+l
=
+
+ + ( l )n
+ 0 (x2n+2)
X - 3ï Sl - 7! . . . - (2n + 1) !
~ (- l / x2k+J
LJ ____ + o(x2n+2)
k=O (2k + 1) !
=
On ne donnera pas, ici, de développement limité à l'ordre n, au voisinage de zéro de la fonction
tangente; il faut savoir que ce développement existe, mais fait intervenir des quantités qu'il
serait trop compliqué de définir ici (les nombres de Bernoulli en l'occurence) .
x3 xs
( _ 1 Y1 x2n+ 1
arctan x = x - 3 + S + .. . + 2
n + 1
+ x
211 +
2 e(x)
x3 x5
( _ 1 )n x2n+ 1
X - - + - + ... +
+ 0 (x2n+2)
3
5
2n + l