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Développements limités usuels
Dans ce qui suit, n désigne un entier naturel.
> Développement limité au voisinage de O de la fonction x H -
1
1
- X
Théorème
Pour tout réel x tendant vers 0 :
1
- - = 1 + X + x
2 + . . . + X
1 + X
1 ê(X)
1 - x = 1 + X + x
2 + . .. + X1 + 0 (X1)
Il
=
.l::Jr + o(x'1)
k=O
> Développement limité au voisinage de O de la fonction x H -
1
1
+X
Théorème
Pour tout réel x tendant vers 0 :
1
- - = 1 - x + x
2 + . . . + ( - l yi xn + x" t:(x)
l+ x
= 1 - X+ x2 + . . . + (-lY' X1 + 0 (x'
1
)
/!
=
I (- l )k ,/ + o(xn)
k=O
> Développement limité au voisinage de 0 de la fonction x H ln(1 + x)
Théorème
Pour tout réel x tendant vers 0 :
x2
_xi
ln(l + x) = x - - + . .. + ( - l )
11 + l - + x
11 .s(x)
2
n
x
2
x"
= x - 2
+ . .. + (-1)
11 +
1 -;; + o(x
11
)
n (-l)k+I Xk
=
I k +o(x")
k=I
> Développement limité au voisinage de 0 de la fonction x H ln(1 - x)
Théorème
Pour tout réel x tendant vers 0 :
x2
x' 1
ln( l - x) = - x - - - . .. - - + .x' s(x)
2
2
n
= - X - ~ - •.. - X1 + 0 (x")
2
n
n xk
=
- I k + 0 k=I
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