III Rang d'une matrice
• Définition
Soit A une matrice de format (n, p), E un espace vectoriel de dimension p, F un
espace vectoriel de dimension n.
Quelles que soient les bases B et C choisies dans E et F, le rang de l'application
linéaire f associée à A est toujours le même. Ce rang est appelé rang de A.
C'est aussi le rang des vecteurs colonnes de A, c'est-à-dire la dimension du sousespace vectoriel qu'ils engendrent.
Une matrice carrée d'ordre n est donc inversible si, et seulement si, son rang est
égal à n.
• Rang de la transposée
A et
t A ont même rang. On peut donc définir le rang de A à partir de ses lignes.
• Calcul du rang
Les opérations élémentaires sur les lignes, ou les colonnes, d'une matrice ne modifient pas le rang. On les utilise pour se ramener à une matrice de rang connu.
IV Trace
• Trace d'une matrice
La trace d'une matrice A = (a i j ), carrée d'ordre n, est la somme de ses éléments
diagonaux, soit :
tr A =
n
i=1
a ii ∈ K .
Elle vérifie les propriétés :
tr (A + B) = tr A + tr B ; tr (λ A) = λ tr A
tr (AB) = tr (B A)
; tr (P M P
−1
) = tr M.
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A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
Attention, en général tr (ABC) /
= tr (BAC) .
• Trace d'un endomorphisme
Si f est un endomorphisme d'un espace vectoriel E de dimension finie, toutes les
matrices qui le représentent sont semblables et ont la même trace.
Cette trace commune est la trace de l'endomorphisme f.