A p p l i c a t i o n
Soit f un endomorphisme d'un espace vectoriel E de dimension finie n, tel que f
n
= 0
et f
n−1
= / 0.
Déterminez une base de E dans laquelle la matrice de f soit :







0 0 . . . . . . 0
1
. . .
. . .
0 1
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0 . . . 0
1 0







.
S o l u t i o n
Il s'agit de trouver une base (e 1 ,. . . ,e n ) telle que :
f (e i ) = e i+1 pour 1 i n − 1
f (e n ) = 0.
On doit avoir e i = f
i−1
(e 1 ) pour 1 i n , et, en particulier, il faut que
e n = f
n−1
(e 1 ) soit non nul.
Après cette phase d'étude, construisons une base convenable.
Comme f
n−1
= / 0, il existe e 1 tel que f
n−1
(e 1 ) = / 0.
Pour 2 i n, posons e i = f
i−1
(e 1 ), et montrons que B = (e 1 ,. . . ,e n ) est une base
de E.
Comme E est de dimension n, il suffit de montrer que c'est une famille libre, puisque
le nombre de vecteurs est égal à la dimension.
Soit λ 1 ,. . . ,λ n des scalaires tels que
n
i=1
λ i e i = 0 . On a :
f
n−1
n
i=1
λ i e i
= 0 = λ 1 f
n−1
(e 1 ) .
Comme f
n−1
(e 1 ) = / 0, on en déduit que λ 1 = 0.
À partir de f
n−2
n
i=1
λ i e i
= 0 , on obtient λ 2 = 0, et ainsi de suite.
On a bien construit une base de E. Et la matrice de f dans cette base est de la forme
annoncée.
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F I C H E 1 9 – M a t r i c e s e t a p p l i c a t i o n s l i n é a i r e s
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