A p p l i c a t i o n
Déterminez (en discutant suivant les valeurs de α et β) le rang de :
A =


1 −2 3 1
−2 1 4 5
1
α 1 β

 .
S o l u t i o n
Le rang de A est celui des vecteurs colonnes (C 1 ,C 2 ,C 3 ,C 4 ).
C'est le même que celui de
(C 1 , C
2 = C 3 − 3C 1 , C
3 = C 2 + 2C 1 , C
4 = C 4 − C 1 ) ,
puis (C 1 , C
2 , 3C
2 + 10C
3 , −7C
2 + 10C
4 ) .
Sous forme matricielle, les matrices suivantes ont le même rang que A :


1
0
0
0
−2 10
−3
7
1 −2 α + 2 β − 1




1
0
0
0
−2 10
0
0
1 −2 10α + 14 10 β + 4


Si α = −
7
5
et β = −
2
5
alors le rang de A est égal à 2.
Sinon, le rang de A est égal à 3.
100 A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
Le plan P = Vect (C 1 , C 3 ) a pour équation −3x + y + 5z = 0. Les valeurs particulières
obtenues pour α et β correspondent à C 2 ∈ P et C 4 ∈ P .
A p p l i c a t i o n
Soit A une matrice de M n (R). On définit l'endomorphisme ψ de M n (R) par :
X → ψ(X) = AX + X A .
Calculez la trace de ψ en fonction de celle de A.
S o l u t i o n
Soit E i j la matrice de M n (R) qui comporte la valeur 1 à l'intersection de la ligne i et
de la colonne j, et la valeur 0 partout ailleurs.