L'ensemble des E i j pour 1 i n et 1 j n constitue la base canonique de
M n (R) et leur produit vérifie E i j E kl = δ jk E il où δ jk est le symbole de Kronecker.
Si A =
a i j
, on peut aussi écrire A =
i, j
a i j E i j . On a alors :
A E kl =
i, j
a i j E i j E kl =
n
i=1
a ik E il et E kl A =
n
j=1
a l j E k j ,
d'où ψ(E kl ) =
n
i=1
a ik E il +
n
j=1
a l j E k j .
La composante de ψ(E kl ) sur E kl est a kk + a ll . La trace de ψ est donc :
tr ψ =
k,l
a kk + a ll
=
k,l
a kk +
k,l
a ll = n
n
k=1
a kk + n
n
l=1
a ll
= 2 n trA
.
A p p l i c a t i o n
Dans M 3 (R) , quelles sont les racines de M
2
= O ?
S o l u t i o n
Considérons f ∈ L(R
3
) tel que f ◦ f = 0. On a alors Im f ⊂ Ker f .
D'après le théorème du rang, dim Im f + dim Ker f = 3 ; d'où : dim Im f 1.
Si f n'est pas nul, c'est donc un endomorphisme de rang 1 dont l'image est incluse dans
le noyau.
Soit (V 3 ) une base d'un supplémentaire du noyau. Le vecteur V 1 = f (V 3 ) est alors une
base de Im f car V 1 = / 0.
Comme Im f ⊂ Ker f , on peut alors choisir V 2 pour que (V 1 ,V 2 ) soit une base de Ker f.
B = (V 1 ,V 2 ,V 3 ) est une base de R
3 et la matrice de f dans cette base est :
A =
0 0 1
0 0 0
0 0 0
.
Les solutions de l'équation sont donc la matrice nulle et toutes les matrices semblables
à A.
101
F I C H E 1 9 – M a t r i c e s e t a p p l i c a t i o n s l i n é a i r e s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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9
M n (R) et leur produit vérifie E i j E kl = δ jk E il où δ jk est le symbole de Kronecker.
Si A =
a i j
, on peut aussi écrire A =
i, j
a i j E i j . On a alors :
A E kl =
i, j
a i j E i j E kl =
n
i=1
a ik E il et E kl A =
n
j=1
a l j E k j ,
d'où ψ(E kl ) =
n
i=1
a ik E il +
n
j=1
a l j E k j .
La composante de ψ(E kl ) sur E kl est a kk + a ll . La trace de ψ est donc :
tr ψ =
k,l
a kk + a ll
=
k,l
a kk +
k,l
a ll = n
n
k=1
a kk + n
n
l=1
a ll
= 2 n trA
.
A p p l i c a t i o n
Dans M 3 (R) , quelles sont les racines de M
2
= O ?
S o l u t i o n
Considérons f ∈ L(R
3
) tel que f ◦ f = 0. On a alors Im f ⊂ Ker f .
D'après le théorème du rang, dim Im f + dim Ker f = 3 ; d'où : dim Im f 1.
Si f n'est pas nul, c'est donc un endomorphisme de rang 1 dont l'image est incluse dans
le noyau.
Soit (V 3 ) une base d'un supplémentaire du noyau. Le vecteur V 1 = f (V 3 ) est alors une
base de Im f car V 1 = / 0.
Comme Im f ⊂ Ker f , on peut alors choisir V 2 pour que (V 1 ,V 2 ) soit une base de Ker f.
B = (V 1 ,V 2 ,V 3 ) est une base de R
3 et la matrice de f dans cette base est :
A =
0 0 1
0 0 0
0 0 0
.
Les solutions de l'équation sont donc la matrice nulle et toutes les matrices semblables
à A.
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F I C H E 1 9 – M a t r i c e s e t a p p l i c a t i o n s l i n é a i r e s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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