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Déterminants
I Formes multilinéaires alternées
• Définitions
Soit E un K-espace vectoriel. Une application f, de E
n dans K, est une forme nlinéaire si chacune de ses applications partielles
x i → f (x 1 ,. . . ,x i ,. . . ,x n )
est linéaire.
On dit de plus que f est alternée si f (x 1 ,. . . ,x i ,. . . ,x n ) = 0 dès que deux vecteurs,
au moins, sont égaux.
f étant une forme n-linéaire alternée, σ une permutation appartenant à S n , de signature ε(σ), on a :
f (x σ(1) ,. . . ,x σ(n) ) = f (x 1 ,. . . ,x n ) ε(σ) .
• Cas où dim E = n
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n.
Pour toute base (e 1 ,. . . ,e n ) de E et tout λ ∈ K, il existe une forme n-linéaire alternée unique f telle que
f (e 1 ,. . . ,e n ) = λ .
f étant une forme n-linéaire alternée non nulle, on a :
(x 1 ,. . . ,x n ) famille liée de E ⇐⇒ f (x 1 ,. . . ,x n ) = 0.
II Déterminants
• Déterminant de n vecteurs
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n, et B = (e 1 ,. . . ,e n ) une base de E.
On appelle déterminant de n vecteurs x 1 ,. . . ,x n de E, relativement à la base B
de E, la valeur notée det B (x 1 ,. . . ,x n ) de l'unique forme n-linéaire alternée det B
telle que det B (e 1 ,. . . ,e n ) = 1 .
FICHE 20