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F I C H E 2 0 – D é t e r m i n a n t s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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Si pour tout i ∈ {1,. . . ,n} , on décompose x i =
n
j=1
a i j e j , alors :
det B (x 1 ,. . . ,x n ) =
σ∈S n
ε(σ) × a 1,σ(1) × · · · × a n,σ(n) .
• Déterminant d'une matrice carrée
Soit A =
a i j
une matrice carrée d'ordre n.
On appelle déterminant de A le déterminant de ses n vecteurs colonnes, considérés comme éléments de K
n rapporté à sa base canonique.
• Déterminant d'un endomorphisme
Après avoir montré que deux matrices semblables ont le même déterminant, on
appelle déterminant d'un endomorphisme f, le déterminant commun à ses matrices
représentatives.
III Propriétés des déterminants
• Transposée
det A = det
t A .
Les propriétés relatives aux colonnes sont donc aussi valables pour les lignes.
• Propriétés d'une forme multilinéaire alternée
– On ne change pas la valeur d'un déterminant en ajoutant à une de ses lignes (resp.
colonnes) une combinaison linéaire des autres lignes (resp. colonnes). Cette propriété est très utilisée pour faire apparaître des 0 sur une colonne (resp. ligne).
– Multiplier une ligne (ou une colonne) d'un déterminant par un scalaire, c'est multiplier le déterminant par ce scalaire.
Si A ∈ M n (K) , on a donc det(λ A) = λ
n det(A) puisqu'on peut mettre λ en facteur dans
chacune des n colonnes de A.
– Toute transposition sur les lignes (ou les colonnes) transforme det A en − detA.
• Produit
det (A B) = det A × detB .