• Développement suivant une rangée
Définitions
On appelle mineur de l'élément a i j de , déterminant d'ordre n, le déterminant
d'ordre n − 1 obtenu en supprimant la i-ième ligne et la j-ième colonne de , sans
changer l'ordre des autres rangées.
Notation : D i j .
On appelle cofacteur de l'élément a i j , le nombre A i j = (−1)
i+ j D i j .
Théorème
Un déterminant est égal à la somme des produits deux à deux des éléments d'une
rangée (ligne ou colonne) par leurs cofacteurs.
On utilise ce résultat après avoir fait apparaître sur une même rangée le plus possible de zéros.
104 A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
Ce mode de calcul peut aussi servir de définition par récurrence d'un déterminant après
avoir démontré que le résultat du développement est indépendant de la ligne, ou de la
colonne, considérée.
C'est une définition plus accessible pour tous ceux que rebute un trop grand formalisme
mathématique.
Application
Le déterminant d'une matrice triangulaire est égal au produit des éléments diagonaux.
• Calcul par blocs
Soit M une matrice carrée de la forme
M =
A C
0 D
où A et D sont des matrices carrées. On a :
det M = det A × det D .
• Matrice carrée inversible
A inversible ⇐⇒ det A = / 0 .
On a alors det (A
−1
) = (det A)
−1 .