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F I C H E 1 9 – M a t r i c e s e t a p p l i c a t i o n s l i n é a i r e s
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II Changement de bases
• Matrice de passage
Soit B = (e 1 ,. . . ,e p ) et B
= (e
1 ,. . . ,e
p ) deux bases d'un espace vectoriel E de
dimension p. On appelle matrice de passage de la base B à la base B
, la matrice
P dont les colonnes C j sont les composantes des vecteurs e
j dans la base B.
P est la matrice de l'identité de E muni de B
, dans E muni de B.
Si P
est la matrice de passage de B
à B, on a P P
= P
P = I p .
Toute matrice de passage est donc inversible.
Réciproquement, toute matrice inversible peut être considérée comme une matrice
de passage.
• Effet d'un changement de bases
Sur les coordonnées d'un vecteur
Si X est la matrice colonne des composantes de x dans B, X
la matrice colonne
des composantes de x dans B
et P la matrice de passage de B à B
, on a :
X = P X
ou encore X
= P
−1 X .
Sur l'expression d'une forme linéaire
Si une forme linéaire sur E est représentée par une matrice ligne
U = (α 1 ,. . . ,α n ) dans une base B, par U
dans une base B
et si P est la matrice
de passage de B à B
, on a f (x) = U X = U
X
, soit :
U
= U P.
• Matrices équivalentes, matrices semblables
Soit f une application linéaire de E dans F, B et B
deux bases de E, C et C
deux
bases de F.
Notons P la matrice de passage de B à B
,
Q la matrice de passage de C à C
,
A la matrice de f dans les bases B et C ,
A
la matrice de f dans les bases B
et C
.
On a alors :
A
= Q
−1 A P.
Les matrices A et A
sont dites équivalentes. Elles représentent la même application linéaire dans des bases différentes.
Si E = F avec B = C et B
= C
, alors P = Q , soit A
= P
−1 A P.
Les matrices A et A
sont dites semblables.