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A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
Matrices et
applications linéaires
I Écritures matricielles
• Matrice d'une application linéaire de E dans F
Soit E et F des espaces vectoriels de dimensions p et n, munis de bases respectives
B = (e 1 ,. . . ,e p ) et C = ( f 1 ,. . . , f n ) .
Soit f une application linéaire de E dans F. Elle est déterminée par la donnée des
vecteurs :
f (e j ) =
n
i=1
a i j f i pour 1 j p ,
c'est-à-dire par la matrice A = (a i j ) dont les vecteurs colonnes sont les composantes de f (e j ) dans la base de F qui a été choisie.
On dit que A est la matrice de f dans les bases B et C .
FICHE 19
A dépend donc à la fois de l'application linéaire qu'elle représente et des bases choisies
dans les espaces vectoriels de départ et d'arrivée.
Si E est de dimension n, dans toute base l'identité de E est représentée par la
matrice carrée I n qui comporte des 1 sur sa diagonale principale et des 0 ailleurs.
• Traduction matricielle de l'égalité vectorielle y = f (x)
Soit E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies munis de bases respectives B et C , et f une application linéaire de E dans F.
Soit x ∈ E et y ∈ F. Notons X la matrice colonne des composantes de x dans B,
Y la matrice colonne des composantes de y dans C , M la matrice de f dans les bases
B et C .
L'égalité vectorielle y = f (x) est équivalente à l'égalité matricielle :
Y = M X.
A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
Matrices et
applications linéaires
I Écritures matricielles
• Matrice d'une application linéaire de E dans F
Soit E et F des espaces vectoriels de dimensions p et n, munis de bases respectives
B = (e 1 ,. . . ,e p ) et C = ( f 1 ,. . . , f n ) .
Soit f une application linéaire de E dans F. Elle est déterminée par la donnée des
vecteurs :
f (e j ) =
n
i=1
a i j f i pour 1 j p ,
c'est-à-dire par la matrice A = (a i j ) dont les vecteurs colonnes sont les composantes de f (e j ) dans la base de F qui a été choisie.
On dit que A est la matrice de f dans les bases B et C .
FICHE 19
A dépend donc à la fois de l'application linéaire qu'elle représente et des bases choisies
dans les espaces vectoriels de départ et d'arrivée.
Si E est de dimension n, dans toute base l'identité de E est représentée par la
matrice carrée I n qui comporte des 1 sur sa diagonale principale et des 0 ailleurs.
• Traduction matricielle de l'égalité vectorielle y = f (x)
Soit E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies munis de bases respectives B et C , et f une application linéaire de E dans F.
Soit x ∈ E et y ∈ F. Notons X la matrice colonne des composantes de x dans B,
Y la matrice colonne des composantes de y dans C , M la matrice de f dans les bases
B et C .
L'égalité vectorielle y = f (x) est équivalente à l'égalité matricielle :
Y = M X.