S o l u t i o n
Il s'agit de trouver la matrice A
=


x 1 x 2 x 3
y 1 y 2 y 3
z 1 z 2 z 3

 vérifiant A A
= I 3 .
Les coefficients de A
vérifient donc :
x 1 + 2 y 1 + 2 z 1 = 1
x 1 + 2 y 1 + z 1 = 0
x 1 + y 1 + z 1 = 0
x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 = 0
x 2 + 2 y 2 + z 2 = 1
x 2 + y 2 + z 2 = 0
x 3 + 2 y 3 + 2 z 3 = 0
x 3 + 2 y 3 + z 3 = 0
x 3 + y 3 + z 3 = 1
Les trois systèmes ne diffèrent que par leurs seconds membres. On peut les résoudre en
même temps en juxtaposant les seconds membres. On part de la matrice augmentée :


1 2 2
1 2 1
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1


Avec les opérations L 2
L 2 − L 1 et L 3
L 3 − L 1 ,
puis L 2 ↔ L 3 , L 2
−L 2 , L 3
−L 3 et L 1
L 1 − 2L 2 ,
on obtient successivement :


1 2
2
0 0 −1
0 −1 −1
1 0 0
−1 1 0
−1 0 1




1 0 0
0 1 1
0 0 1
−1 0
2
1
0 −1
1 −1 0


Avec L 2
L 2 − L 3 , on obtient enfin I 3 dans la partie gauche du tableau :


1 0 0
0 1 0
0 0 1
−1 0
2
0
1 −1
1 −1 0


On a donc : A
−1
=


−1 0
2
0
1 −1
1 −1 0

 .
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F I C H E 1 8 – C a l c u l m a t r i c i e l
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