A p p l i c a t i o n
a et b étant deux réels donnés, on considère la matrice :
A =


a b b
b a b
b b a

 .
Calculez A
n pour n ∈ N
∗ .
S o l u t i o n
Il est normal de penser à utiliser la formule du binôme pour calculer A
n . Mais toutes
les décompositions ne permettent pas de conclure. En voici une qui est efficace :
A = (a − b)


1 0 0
0 1 0
0 0 1

 + b


1 1 1
1 1 1
1 1 1

 = (a − b) I 3 + b B.
On constate que B
2
= 3B, et on démontre par récurrence que, pour tout k ∈ N
∗ ,
on a B
k
= 3
k−1 B.
Comme I 3 B = B I 3 , on peut appliquer la formule du binôme, et on obtient, pour tout
n ∈ N
∗ :
A
n
= (a − b)
n I 3 +
n
k=1
n
k
(a − b)
n−k b
k 3
k−1
B
= (a − b)
n I 3 +
1
3
n
k=1
n
k
(3b)
k
(a − b)
n−k
B
= (a − b)
n I 3 +
1
3
(a + 2b)
n
− (a − b)
n
B.
A p p l i c a t i o n
Calculez l'inverse de la matrice :
A =


1 2 2
1 2 1
1 1 1

 .
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A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s