A p p l i c a t i o n
Soit A =
a i j
la matrice carrée d'ordre n définie par son terme général :
a i j = 0
s i i > j
a i j = (−1)
i−1
j − 1
i − 1
si i j.
Calculez A
2 .
S o l u t i o n
Soit b i j le terme général de A
2 . On a b i j =
n
k=1
a ik a k j .
a ik a k j est non nul si, et seulement si, i k j.
On peut donc déjà dire que b i j = 0 quand i > j.
Quand i j, la somme précédente comporte des termes non nuls.
b i j =
j
k=i
(−1)
i−1
k − 1
i − 1
(−1)
k−1
j − 1
k − 1
= (−1)
i
j
k=i
(k − 1)!
(i − 1)! (k − i)!
(−1)
k
( j − 1)!
(k − 1)! ( j − k)!
= (−1)
i ( j − 1)!
(i − 1)!
j
k=i
(−1)
k
1
(k − i)! ( j − k)!
= (−1)
i
j − 1
i − 1
j
k=i
(−1)
k
j − i
k − i
=
j − 1
i − 1
j−i
k =0
(−1)
k
j − i
k
=
j − 1
i − 1
(1 − 1)
j−i
.
Si i < j, on obtient donc b i j = 0. Mais si i = j, on obtient b ii = 1 .
Par conséquent A
2
= I n .
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F I C H E 1 8 – C a l c u l m a t r i c i e l
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
1
8
Soit E = R n−1 [X ] muni de sa base canonique (1, X , ..., X
n−1 ) .
La matrice A est celle de l'endomorphisme :
P(X ) → P(1 − X ) .
Il n'est donc pas miraculeux d'avoir obtenu A
2 = I n .