Les éléments inversibles de M n (K) forment un groupe GL n (K), isomorphe au
groupe linéaire GL(K
n
). On a en particulier :
(A B)
−1
= B
−1 A
−1 .
Si A est inversible, alors l'endomorphisme f de E, muni d'une base B, qui lui est
associé (pour le lien entre matrices et applications linéaires, voir la fiche 19) est
inversible ; et A
−1 est la matrice de f
−1 .
Dans M n (K), pour que A soit inversible, il suffit qu'elle soit inversible à droite, ou
à gauche.
IV Transposition
• Définition
La transposée d'une matrice A de format (n, p), est la matrice de format ( p,n),
notée
t A, de terme général b i j :
∀i ∈ {1,. . . ,p} ∀j ∈ {1,. . . ,n}
b i j = a ji .
Elle est donc obtenue à partir de A en échangeant les lignes et les colonnes.
• Propriétés
t
t A
= A ;
t
(λ A) = λ
t A ;
t
(A + B) =
t A +
t B ;
t
(A B) =
t B
t A ;
t
A
−1
= (
t A)
−1 .
• Matrices symétriques, antisymétriques
Une matrice carrée A est symétrique si
t A = A,
antisymétrique si
t A = −A .
Les matrices symétriques et les matrices antisymétriques constituent des sousespaces vectoriels supplémentaires de M n (K).
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A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s