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F I C H E 1 8 – C a l c u l m a t r i c i e l
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II Opérations sur les matrices
• Espace vectoriel M n, p (K)
Soit λ ∈ K, et A = (a i j ) et B = (b i j ) deux matrices de M n, p (K).
On définit :
λ A = (λ a i j ) et A + B = (a i j + b i j ) .
Attention, on ne peut additionner deux matrices que si elles sont de même format.
Pour ces deux lois, M n, p (K) est un espace vectoriel.
Pour i ∈ {1,. . . ,n} et j ∈ {1,. . . ,p} fixés, on note E i j la matrice dont le coefficient
situé sur la ligne i et la colonne j est égal à 1, et dont les autres coefficients sont
égaux à 0.
E i j
1in
1 j p
est la base canonique de M n, p (K), qui est donc de dimension n p.
• Produit de matrices
Si A est de format (n, p) et B de format ( p,q), on définit la matrice C = AB , de
format (n,q), par :
∀i ∈ {1,. . . ,n} ∀j ∈ {1,. . . ,q}
c i j =
p
k=1
a ik b k j .
Attention à la condition d'existence de AB :
nombre de colonnes de A = nombre de lignes de B.
Ce produit est associatif et non commutatif.
III Matrices carrées d'ordre n
• Formule du binôme de Newton
Si AB = B A, alors :
∀m ∈ N
(A + B)
m
=
m
k=0
m
k
A
k B
m−k .
• Matrices inversibles
Une matrice A ∈ M n (K) est inversible s'il existe B ∈ M n (K) telle que :
AB = B A = I n .
Si B existe, elle est unique et on la note A
−1 .