A p p l i c a t i o n
Dans E = R
3 , on considère les deux sous-espaces vectoriels :
E 1 = {(x,y,z) ∈ E ; x + y + z = 0} ; E 2 = {(x,y,z) ∈ E ; x = −y = z} .
1. Démontrez que E = E 1 ⊕ E 2 .
2. Soit p la projection sur E 1 parallèlement à E 2 et s la symétrie par rapport à E 1
parallèlement à E 2 . Déterminez p
(x,y,z)
et s
(x,y,z)
.
S o l u t i o n
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F I C H E 1 7 – A p p l i c a t i o n s l i n é a i r e s p a r t i c u l i è r e s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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Si l'exercice s'arrêtait à la première question, démontrez que E 1 ∩ E 2 = {0} , puis
dim E 1 = 2 et dim E 2 = 1.
1. Démontrons que tout vecteur (x,y,z) de E se décompose de façon unique comme
somme d'un vecteur de E 1 et d'un vecteur de E 2 .
• Commençons par l'unicité. Soit (x,y,z) ∈ E et supposons qu'il s'écrive :
(x,y,z) = (x 1 ,y 1 ,z 1 ) + (x 2 ,y 2 ,z 2 )
avec (x 1 ,y 1 ,z 1 ) ∈ E 1 et (x 2 ,y 2 ,z 2 ) ∈ E 2 . On a alors :
x = x 1 + x 2
y = y 1 + y 2
z = z 1 + z 2
et
x 1 + y 1 + z 1 = 0
x 2 = −y 2 = z 2 .
En additionnant membre à membre les égalités du premier système et en utilisant les
autres égalités, on obtient :
x + y + z = x 2 + y 2 + z 2 = x 2 ,
ce qui donne :
x 2 = x + y + z ; y 2 = −x − y − z ; z 2 = x + y + z ,
puis :
x 1 = x − x 2 = −y − z ; y 1 = y − y 2 = x + 2y + z ; z 1 = z − z 2 = −x − y .
• Pour démontrer l'existence de la décomposition de tout vecteur, considérons un vecteur quelconque (x,y,z) de E.
Définissons (x 1 ,y 1 ,z 1 ) et (x 2 ,y 2 ,z 2 ) par les valeurs qui précèdent.
On observe que (x 1 ,y 1 ,z 1 ) + (x 2 ,y 2 ,z 2 ) = (x,y,z) ,
que (x 1 ,y 1 ,z 1 ) ∈ E 1 et (x 2 ,y 2 ,z 2 ) ∈ E 2 ,
ce qui démontre l'existence de la décomposition.
2. Il résulte de la décomposition précédente que :
p [(x,y,z)] = (x 1 ,y 1 ,z 1 ) = (−y − z,x + 2y + z,−x − y) .
s
(x,y,z)
= (−x − 2y − 2z,2x + 3y + 2z,−2x − 2y − z) .