A p p l i c a t i o n
On considère un K-espace vectoriel E de dimension n, deux projecteurs p et q de E
vérifiant p ◦ q = q ◦ p .
Montrez que p ◦ q est un projecteur.
Déterminez Im( p ◦ q) et Ker( p ◦ q).
S o l u t i o n
• Des règles de calcul dans L(E), il vient :
( p ◦ q) ◦ ( p ◦ q) = p ◦ (q ◦ p) ◦ q = p ◦ ( p ◦ q) ◦ q = p
2
◦ q
2
= p ◦ q .
p ◦ q est donc un projecteur de E.
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A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
Rappelons que, si u est un projecteur de E, les vecteurs x de Im u sont caractérisés par
la condition u(x) = x .
• Soit x ∈ Im( p ◦ q). On a alors ( p ◦ q) (x) = x, d'où x ∈ Im p.
Comme p ◦ q = q ◦ p , on a aussi (q ◦ p) (x) = x, d'où x ∈ Imq.
On en déduit que Im ( p ◦ q) ⊂ Im p ∩ Im q.
Soit x ∈ Im p ∩ Im q ; on a alors p(x) = q(x) = x,
d'où ( p ◦ q) (x) = p(x) = x, et donc x ∈ Im ( p ◦ q) .
On conclut que Im( p ◦ q) = Im p ∩ Im q.
• Soit x ∈ Ker p ; on a alors p(x) = 0, ce qui entraîne (q ◦ p) (x) = 0 , puis
( p ◦ q) (x) = 0 puisque p ◦ q = q ◦ p .
On en déduit Ker p ⊂ Ker ( p ◦ q) .
On montre de même que Ker q ⊂ Ker ( p ◦ q).
Ker ( p ◦ q) contient donc le sous-espace vectoriel engendré par Ker p ∪ Ker q, soit
Ker p + Ker q.
Réciproquement, soit x ∈ Ker ( p ◦ q). Comme on a E = Ker p ⊕ Im p puisque p est
un projecteur, il existe des vecteurs uniques x 1 ∈ Ker p et x 2 ∈ Im p tels que
x = x 1 + x 2 . De
0 = ( p ◦ q) (x) = (q ◦ p) (x) = (q ◦ p) (x 1 ) + (q ◦ p) (x 2 ) ,
on tire (q ◦ p) (x 2 ) = 0.
Comme x 2 ∈ Im p , on a p(x 2 ) = x 2 , d'où q(x 2 ) = 0 soit x 2 ∈ Ker q , et par conséquent
x ∈ Ker p + Ker q .
On concut donc que Ker ( p ◦ q) = Ker p + Ker q.