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F I C H E 1 7 – A p p l i c a t i o n s l i n é a i r e s p a r t i c u l i è r e s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
1
7
• Projecteurs
D'une facon générale, on appelle projecteur de E tout endomorphisme p de E tel
que p ◦ p = p.
On a alors :
E = Ker p ⊕ Im p ,
et p est le projecteur sur Im p, parallèlement à Ker p.
Attention, l'égalité E = Ker f ⊕ Im f entraîne seulement que Im f = Im f
2 , et pas que f soit
un projecteur.
• Symétries vectorielles
D'une façon générale, on appelle symétrie de E toute application linéaire s, de E
dans E, telle que s ◦ s = Id E .
Alors F = {x ∈ E ; s(x) = x} et G = {x ∈ E ; s(x) = −x} sont des sousespaces supplémentaires de E, et s est la symétrie par rapport à F, parallèlement
à G.
F I C H E 1 7 – A p p l i c a t i o n s l i n é a i r e s p a r t i c u l i è r e s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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• Projecteurs
D'une facon générale, on appelle projecteur de E tout endomorphisme p de E tel
que p ◦ p = p.
On a alors :
E = Ker p ⊕ Im p ,
et p est le projecteur sur Im p, parallèlement à Ker p.
Attention, l'égalité E = Ker f ⊕ Im f entraîne seulement que Im f = Im f
2 , et pas que f soit
un projecteur.
• Symétries vectorielles
D'une façon générale, on appelle symétrie de E toute application linéaire s, de E
dans E, telle que s ◦ s = Id E .
Alors F = {x ∈ E ; s(x) = x} et G = {x ∈ E ; s(x) = −x} sont des sousespaces supplémentaires de E, et s est la symétrie par rapport à F, parallèlement
à G.