86
A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
Applications
linéaires
particulières
I Homothéties
Soit k ∈ K
∗ . L'homothétie de rapport k est l'automorphisme linéaire de E :
h k : E −→ E
x → kx.
FICHE 17
Dans cette définition, n'oubliez pas que k ne dépend pas de x.
II Projecteurs
et symétries vectorielles
• Définitions
Soit F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. Tout vecteur x de
E s'écrit de façon unique sous la forme x = x 1 + x 2 avec x 1 ∈ F et x 2 ∈ G.
L'application p de E dans E : x → p(x) = x 1 est linéaire.
C'est le projecteur sur F, parallèlement à G.
L'application s F de E dans E : x → s F (x) = x 1 − x 2 est linéaire.
C'est la symétrie par rapport à F, parallèlement à G.
On définit de même le projecteur q sur G, parallèlement à F, et la symétrie s G par
rapport à G, parallèlement à F.
• Propriétés
p + q = Id E ; p ◦ q = q ◦ p = 0 ; p
2
= p ; q
2
= q ; s
2
F = Id E .
Ker p = Im q = G ; Kerq = Im p = F .
p et s F sont liées par l'égalité :
s F = 2 p − Id E .